题目内容
初三（1）班数学兴趣小组在社会实践活动中，进行了如下的课题研究：用一长为18cm、宽为12cm的矩形铁皮（如右图），裁剪出一个扇形，使扇形的面积尽可能大．小组讨论后，设计了以下三种方案：
（1）以CD为直径画弧（如图1），则截得的扇形面积为______cm2；
（2）以C为圆心，CD为半径画弧（如图2），则截得的扇形面积为______cm2；
（3）以BC为直径画弧（如图3），则截得的扇形面积为______cm2；经过这三种情形的研究，小明突然受到启发，他觉得下面这一方案更佳：圆心仍在BC边上，以OC为半径画弧，切AD于E，交AB于F（如图4）．请你通过计算说明，小明的方案所截得的扇形面积更大．
【答案】分析：（1）直接根据圆的面积公式计算出半圆的面积即可；
（2）根据扇形的面积公式计算出扇形的面积即可；
（3）直接根据圆的面积公式计算出半圆的面积；连接OE，根据切线的性质可知，OE⊥AD，故可得出四边形OCDE是正方形，根据扇形的面积公式求出扇形EOC的面积，再根据OF，OB的长度求出△OBF中∠OFB的面积，进而得出∠BOF的度数，再根据扇形的面积公式计算出扇形EOF的面积，进而可得出结论．
解答：解：（1）∵CD=12cm，
∴OC=6cm，
∴S扇形=
π（OC）2=
π×62=18πcm2．
（2）∵CD=12cm，∠C=90°，
∴S扇形DCE=
=36πcm2；
（3））∵BC=18cm，
∴OC=9cm，
∴S扇形=
π（OC）2=
π×92=
cm2．
故答案为：
；
如图4，连接OE，
∵AD与
相切于点E，
∴OE⊥AD，
∴四边形OCDE是正方形，
∴OE=OC=CD=12cm，
S扇形EOC=
π（OC）2=
π×122=36π；
∵OB=BC-OC=18-12=6cm，OF=CD=12cm，∠B=90°，
∴∠OFB=30°，
∴∠BOF=90°-30°=60°，
∴∠EOF=30°，
∴S扇形EOF=
=12π，
∴S扇形COF=S扇形EOC+S扇形EOF=36π+12π=48πcm2．
故答案为：18π；36π．
点评：本题考查的是圆的综合题，涉及到扇形面积的计算、圆的面积及切线的性质等知识，难度适中．
（2）根据扇形的面积公式计算出扇形的面积即可；
（3）直接根据圆的面积公式计算出半圆的面积；连接OE，根据切线的性质可知，OE⊥AD，故可得出四边形OCDE是正方形，根据扇形的面积公式求出扇形EOC的面积，再根据OF，OB的长度求出△OBF中∠OFB的面积，进而得出∠BOF的度数，再根据扇形的面积公式计算出扇形EOF的面积，进而可得出结论．
解答：解：（1）∵CD=12cm，
∴OC=6cm，
∴S扇形=
π（OC）2=π×62=18πcm2．（2）∵CD=12cm，∠C=90°，
∴S扇形DCE=
=36πcm2；（3））∵BC=18cm，
∴OC=9cm，
∴S扇形=
π（OC）2=π×92=cm2．故答案为：
；如图4，连接OE，
∵AD与
相切于点E，∴OE⊥AD，
∴四边形OCDE是正方形，
∴OE=OC=CD=12cm，
S扇形EOC=
π（OC）2=π×122=36π；∵OB=BC-OC=18-12=6cm，OF=CD=12cm，∠B=90°，
∴∠OFB=30°，
∴∠BOF=90°-30°=60°，
∴∠EOF=30°，
∴S扇形EOF=
=12π，∴S扇形COF=S扇形EOC+S扇形EOF=36π+12π=48πcm2．
故答案为：18π；36π．
点评：本题考查的是圆的综合题，涉及到扇形面积的计算、圆的面积及切线的性质等知识，难度适中．
练习册系列答案
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