Question

如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O．
（1）若∠ABC=40°、∠ACB=50°，则∠BOC=______；
（2）若∠ABC+∠ACB=116°，则∠BOC=______；
（3）若∠A=76°，则∠BOC=______；
（4）若∠BOC=120°，则∠A=______；
（5）请写出∠A与∠BOC之间的数量关系______（不必写出理由）．

Answer 1

解：∵在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB），
（1）当∠ABC=40°、∠ACB=50°时，
∠OBC+∠OCB=×（40°+50°）=45°，
∴在△BOC中，∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=135°．
故答案是：135°；

（2）若∠ABC+∠ACB=116°，则∠OBC+∠OCB=×116°=58°，
∴在△BOC中，∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=122°．
故答案是：122°；

（3）在△ABC中，∠A=76°，则∠ABC+∠ACB=180°-76°=104°．
∵在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=52°，
∴在△BOC中，∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=128°．
故答案是：128°；

（4）若∠BOC=120°，则∠OBC+∠OCB=60°，
∵在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠ABC+∠ACB=2（∠OBC+∠OCB）=120°，
∴在△ABC中，∠A=180°-120°=60°．
故填：60°；

（5）设∠BOC=α，
∴∠OBC+OCB=180°-α，
∵∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，
∴∠ABC+∠ACB=2（∠OBC+OCB）=2（180°-α）=360°-2α，
∴∠A=180°-（ABC+∠ACB）=180°-（360°-2α）=2α-180°，
故∠BOC与∠A之间的数量关系是：∠A=2∠BOC-180°．
故答案是：∠A=2∠BOC-180°．
分析：（1）、（2）在△BOC中利用三角形内角和定理来求∠BOC的度数；
（2）首先在△ABC中利用三角形内角和定理求得（∠ABC+∠ACB）的度数，然后在△BOC中利用三角形内角和定理来求∠BOC的度数；
（3）首先在△BOC中利用三角形内角和定理来求（∠OBC+∠OCB）的度数；然后利用角平分线的性质和△ABC的内角和定理来求∠A的度数．
（4）根据以上计算结果填空．
点评：本题主要考查了三角形的角平分线的定义，以及三角形的内角和定理，正确理解定义是解题关键．