Question

在直角坐标系内有函数（x＞0）和一条直线的图象，直线与x、y轴正半轴分别交于点A和点B，且OA=OB=l，点P为曲线上任意一点，它的坐标是（a，b），由点P向x轴、y轴作垂线PM、PN（M、N为垂足）分别与直线AB相交于点E和点F．
（1）如果交点E、F都在线段AB上（如图），分别求出E、F点的坐标（只需写出答案．不需写出计算过程）；
（2）当点P在曲线上移动，试求△0EF的面积（结果可用a、b的代数式表示）；
（3）如果，求的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据图示知，点F的纵坐标是b，横坐标是OB-ON=1-a；点E的纵坐标是OA-AM=1-a，横坐标是a；
（2）利用割补法求得S_△EOF=S_矩形MONP-S_△EMO-S_△FNO-S_△EPF；
（3）根据相似三角形的判定定理SAS证明△AOF∽△BEO．
解答：解：（1）点E（a，1-a），点F（1-b，b）；（2分）

（2）S_△EOF=S_矩形MONP-S_△EMO-S_△FNO-S_△EPF，
=，
=；（4分）

（3）∵点F（1-b，b）
∴
∴
∴

由点F和点E的坐标可以求得：
OF=，OE=，
∴=．
点评：本题主要考查了反比例函数的综合题、勾股定理．利用反比例函数图象上的点的特点，图象上所有的点都满足函数解析式．