题目内容
如图，已知抛物线y=| 1 | 2 |
（1）求此抛物线的解析式；
（2）设点E是线段AB上的动点，作EF∥AC交BC于F，连接CE，当△CEF的面积是△BEF面积的2倍时，求E点的坐标；
（3）若P为抛物线上A、C两点间的一个动点，过P作y轴的平行线，交AC于Q，当P点运动到什么
位置时，线段PQ的值最大，并求此时P点的坐标．
分析：（1）将A、C的坐标代入抛物线的解析式中，即可求出待定系数的值；
（2）根据抛物线的解析式可得出C点的坐标，易证得△ABC是直角三角形，则EF⊥BC；△CEF和△BEF同高，则面积比等于底边比，由此可得出CF=2BF；易证得△BEF∽△BAC，根据相似三角形的性质，即可求得BE、AB的比例关系，由此可求出E点坐标；
（3）PQ的长实际是直线AC与抛物线的函数值的差，可设P点横坐标为m，用m表示出P、Q的纵坐标，然后可得出PQ的长与m的函数关系式，根据所得函数的性质即可求出PQ最大时，m的值，也就能求出此时P点的坐标．
（2）根据抛物线的解析式可得出C点的坐标，易证得△ABC是直角三角形，则EF⊥BC；△CEF和△BEF同高，则面积比等于底边比，由此可得出CF=2BF；易证得△BEF∽△BAC，根据相似三角形的性质，即可求得BE、AB的比例关系，由此可求出E点坐标；
（3）PQ的长实际是直线AC与抛物线的函数值的差，可设P点横坐标为m，用m表示出P、Q的纵坐标，然后可得出PQ的长与m的函数关系式，根据所得函数的性质即可求出PQ最大时，m的值，也就能求出此时P点的坐标．
解答：
解：（1）将A和C点坐标代入解析式得：
，
解得：
；
∴y=
x2+
x-2；
（2）由（1）知：C（0，-2）；
则AC2=AO2+OC2=20，BC2=BO2+OC2=5；
而AB2=25=AC2+BC2；
∴△ACB是直角三角形，且∠ACB=90°；
∵EF∥AC，
∴EF⊥BC；
∵S△CEF=2S△BEF，
∴CF=2BF，BC=3BF；
∵EF∥AC，
∴
=
=
；
∵AB=5，
∴BE=
；
OE=BE-OB=
，故E（-
，0）；
（3）设P点坐标为（m，
m2+
m-2）；
已知A（-4，0），C（0，-2），
设直线AC的解析式为：
y=kx-2，
则有：-4k-2=0，k=-
；
∴直线AC的解析式为y=-
x-2；
∴Q点坐标为（m，-
m-2）；
则PQ=-
m-2-（
m2+
m-2）=-
m2-2m；
∴当m=-2，即P（-2，-3）时，PQ最大，且最大值为2．
故当P运动到OA垂直平分线上时，PQ的值最大，此时P（-2，-3）．
解：（1）将A和C点坐标代入解析式得：
|
解得：
|
∴y=
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
（2）由（1）知：C（0，-2）；
则AC2=AO2+OC2=20，BC2=BO2+OC2=5；
而AB2=25=AC2+BC2；
∴△ACB是直角三角形，且∠ACB=90°；
∵EF∥AC，
∴EF⊥BC；
∵S△CEF=2S△BEF，
∴CF=2BF，BC=3BF；
∵EF∥AC，
∴
| BE |
| AB |
| BF |
| BC |
| 1 |
| 3 |
∵AB=5，
∴BE=
| 5 |
| 3 |
OE=BE-OB=
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
（3）设P点坐标为（m，
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
已知A（-4，0），C（0，-2），设直线AC的解析式为：
y=kx-2，
则有：-4k-2=0，k=-
| 1 |
| 2 |
∴直线AC的解析式为y=-
| 1 |
| 2 |
∴Q点坐标为（m，-
| 1 |
| 2 |
则PQ=-
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴当m=-2，即P（-2，-3）时，PQ最大，且最大值为2．
故当P运动到OA垂直平分线上时，PQ的值最大，此时P（-2，-3）．
点评：此题考查了二次函数解析式的确定、直角三角形的判定和性质、三角形面积的求法、相似三角形的判定和性质、二次函数的应用等知识，综合性强，难度较大．
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C（0，3）．
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