Question

如图，已知AB为⊙O的弦，C为⊙O上一点，∠C=∠BAD，且BD⊥AB于B．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3，AB=4，求AD的长．

Answer 1

（1）证明：如图，连接AO并延长交⊙O于点E，连接BE，则∠ABE=90°，
∴∠EAB+∠E=90°．
∵∠E=∠C，∠C=∠BAD，
∴∠EAB+∠BAD=90°．
∴AD是⊙O的切线．

（2）解：由（1）可知∠ABE=90°，直径AE=2AO=6，AB=4，
∴．
∵∠E=∠C=∠BAD，BD⊥AB，
∴cos∠BAD=cos∠E．
∴．
∴．
分析：（1）要证明AD是⊙O的切线只要证明∠OAD=90°即可．
（2）根据勾股定理及圆周角定理即可求得AD的长．
点评：本题利用了直径对的圆周角是直角，圆周角定理，切线的概念，勾股定理，余弦的概念求解．