Question

（14分）已知抛物线经过A(3，0), B(4，1)两点，且与y轴交于点C．
（1）求抛物线的函数关系式及点C的坐标；
（2）如图（1）,连接AB，在题（1）中的抛物线上是否存在点P，使△PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图（2）,连接AC，E为线段AC上任意一点（不与A、C重合）经过A、E、O三点的圆交直线AB于点F，当△OEF的面积取得最小值时，求点E的坐标．

Answer 1

解：（1）（3分）将A(3,0),B(4,1)代人
得
∴
∴
∴C(0,3)
(2)(7分)假设存在，分两种情况，如图.
①连接AC,
∵OA="OC=3," ∴∠OAC=∠OCA=45^O. ……1分
过B作BD⊥轴于D，则有BD=1，
,
∴BD="AD," ∴∠DAB=∠DBA=45^O.
∴∠BAC=180^O-45^O-45^O=90^O……………2分
∴△ABC是直角三角形. ∴C(0,3)符合条件.
∴P₁(0,3)为所求.
②当∠ABP=90^O时,过B作BP∥AC,BP交抛物线于点P.
∵A(3,0),C(0,3)
∴直线AC的函数关系式为
将直线AC向上平移2个单位与直线BP重合.
则直线BP的函数关系式为
由,得
又B(4,1), ∴P₂(-1,6).
综上所述,存在两点P₁(0,3), P₂(-1,6).
另解②当∠ABP=90^O时, 过B作BP∥AC,BP交抛物线于点P.
∵A(3,0),C(0,3)
∴直线AC的函数关系式为
将直线AC向上平移2个单位与直线BP重合.
则直线BP的函数关系式为
∵点P在直线上，又在上.
∴设点P为
∴
解得
∴P₁(-1,6), P₂(4,1)(舍)
综上所述,存在两点P₁(0,3), P₂(-1,6).
(3)(4分) ∵∠OAE=∠OAF=45^O,而∠OEF=∠OAF=45^O,
∠OFE=∠OAE=45^O,
∴∠OEF=∠OFE=45^O,
∴OE="OF," ∠EOF=90^O
∵点E在线段AC上,
∴设E
∴
=
∴
=
=
=
∴当时, 取最小值,
此时,
∴

解析