Question

【题目】在平面直角坐标系中，点O为原点，点A的坐标为（﹣6，0）．如图1，正方形OBCD的顶点B在x轴的负半轴上，点C在第二象限．现将正方形OBCD绕点O顺时针旋转角α得到正方形OEFG．

（1）如图2，若α=60°，OE=OA，求直线EF的函数表达式．

（2）若α为锐角，tanα= ，当AE取得最小值时，求正方形OEFG的面积．
（3）当正方形OEFG的顶点F落在y轴上时，直线AE与直线FG相交于点P，△OEP的其中两边之比能否为 ：1？若能，求点P的坐标；若不能，试说明理由

Answer 1

【答案】
（1）解：如图1，

过点E作EH⊥OA于点H，EF与y轴的交点为M．

∵OE=OA，α=60°，

∴△AEO为正三角形，

∴OH=3，EH= =3 ．

∴E（﹣3，3 ）．

∵∠AOM=90°，

∴∠EOM=30°．

在Rt△EOM中，

∵cos∠EOM= ，

即 = ，

∴OM=4 ．

∴M（0，4 ）．

设直线EF的函数表达式为y=kx+4 ，

∵该直线过点E（﹣3，3 ），

∴﹣3k+4 =3 ，

解得k= ，

所以，直线EF的函数表达式为y= x+4

（2）解：如图2，

射线OQ与OA的夹角为α（ α为锐角，tanα= ）．

无论正方形边长为多少，绕点O旋转角α后得到正方

形OEFG的顶点E在射线OQ上，

∴当AE⊥OQ时，线段AE的长最小．

在Rt△AOE中，设AE=a，则OE=2a，

∴a2+（2a）2=62，解得a1= ，a2=﹣ （舍去），

∴OE=2a= ，

∴S正方形OEFG=OE2=

（3）解：方法一：设正方形边长为m．

当点F落在y轴正半轴时．

如图3，

当P与F重合时，△PEO是等腰直角三角形，有 = 或 = ．

在Rt△AOP中，∠APO=45°，OP=OA=6，

∴点P1的坐标为（0，6）．

在图3的基础上，

当减小正方形边长时，

点P在边FG 上，△OEP的其中两边之比不可能为 ：1；

当增加正方形边长时，存在 = （图4）和 = （图5）两种情况．

如图4，

△EFP是等腰直角三角形，

有 = ，

即 = ，

此时有AP∥OF．

在Rt△AOE中，∠AOE=45°，

∴OE= OA=6 ，

∴PE= OE=12，PA=PE+AE=18，

∴点P2的坐标为（﹣6，18）．

如图5，

过P作PR⊥x轴于点R，延长PG交x轴于点H．设PF=n．

在Rt△POG中，PO2=PG2+OG2=m2+（m+n）2=2m2+2mn+n2，

在Rt△PEF中，PE2=PF2+EF2=m2+n2，

当 = 时，

∴PO2=2PE2．

∴2m2+2mn+n2=2（m2+n2），得n=2m．

∵EO∥PH，

∴△AOE∽△AHP，

∴ = ，

∴AH=4OA=24，

即OH=18，

∴m=9 ．

在等腰Rt△PRH中，PR=HR= PH=36，

∴OR=RH﹣OH=18，

∴点P3的坐标为（﹣18，36）．

当点F落在y轴负半轴时，

如图6，

P与A重合时，在Rt△POG中，OP= OG，

又∵正方形OGFE中，OG=OE，

∴OP= OE．

∴点P4的坐标为（﹣6，0）．

在图6的基础上，当正方形边长减小时，△OEP的其中

两边之比不可能为 ：1；当正方形边长增加时，存在 = （图7）这一种情况．

如图7，过P作PR⊥x轴于点R，

设PG=n．

在Rt△OPG中，PO2=PG2+OG2=n2+m2，

在Rt△PEF中，PE2=PF2+FE2=（m+n ）2+m2=2m2+2mn+n2．

当 = 时，

∴PE2=2PO2．

∴2m2+2mn+n2=2n2+2m2，

∴n=2m，

由于NG=OG=m，则PN=NG=m，

∵OE∥PN，

∴△AOE∽△ANP，

∴ =1，

即AN=OA=6．

在等腰Rt△ONG中，ON= m，

∴12= m，

∴m=6 ，

在等腰Rt△PRN中，RN=PR=6，

∴点P5的坐标为（﹣18，6）．

所以，△OEP的其中两边的比能为 ：1，点P的坐标是：P1（0，6），P2（﹣6，18），

P3（﹣18，36），P4（﹣6，0），P5（﹣18，6）．

方法二：设点F（0，2a），

∴E（﹣a，a），G（a，a），

∵A（﹣6，0），

∴直线FG的解析式为y=﹣x+2a①，直线AE的解析式为y= （x+6）②，

联立①②得，P（﹣（ ）， ）；

∵E（﹣a，a），O（0，0），

∴PE2= =2a2（ ）2，

OP2= =2a2（ ），

OE2=2a2，

∵△OEP的其中两边之比为 ：1，

∴△OEP的其中两边的平方之比为2：1，

①PE2=2OE2，

∴2a2（ ）2=2×2a2，

∴a=0（舍）或a=6，

把a=6代入点P的坐标中，得，P（﹣6，18）（如图4），

②PE2=2OP2，

∴2a2（ ）2=2×2a2（ ），

∴a=0（舍）或a=﹣6，

把a=6代入点P的坐标中，得，P（﹣18，6）（如图7），

③OE2=2PE2；

∴2a2=2×2a2（ ）2，此方程无解；

④OE2=2OP2．

∴2a2=2×2a2（ ），此方程无解；

⑤OP2=2OE2；

∴2a2（ ）=2×2a2，

∴a=3或a=﹣3，

将a的值代入点P坐标中，得，P（0，6）（如图3）或（﹣6，0）（图6）

，

⑥OP2=2PE2．

∴2a2（ ）=2×2a2（ ）2，

∴a=3（和第五种情况重复）或a=9，

把a=9代入点P的坐标中，得，P（﹣18，36）（如图5）

所以，△OEP的其中两边的比能为 ：1，点P的坐标是：P（0，6），P（﹣6，18），

P（﹣18，36），P（﹣6，0），P（﹣18，6）．

【解析】（1）求出E、M的坐标代入解析式即可；（2）当AE⊥OQ时，线段AE的长最小，利用正切得出边之间的关系式，由勾股定理建立方程即可；（3）可分类讨论，由于正方形的边长在变化，因此AE与FG的交点P位置会发生变化， 1.点F落在y轴正半轴；2.P与F重合时；3.点F落在y轴负半轴时；4.P与A重合时.
【考点精析】本题主要考查了确定一次函数的表达式和正方形的性质的相关知识点，需要掌握确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式y=kx+b（k不等于0）中的常数k和b．解这类问题的一般方法是待定系数法；正方形四个角都是直角，四条边都相等；正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；正方形的对角线与边的夹角是45o；正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形才能正确解答此题．