Question

如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，E为AB上一点，∠C=∠BEO，O是BC上一点，以D为圆心，OB长为半径作⊙O，AC是⊙O的切线．
（1）求证：OE=OC；（2）若BE=4，BC=8，求OE的长．

Answer 1

（1）证明：设AC切⊙O于Q，连接OQ，
∵AC是⊙O的切线，
∴∠CQO=90°，
在△OQC和△OBE中，
∵∠B=∠CQO=90°∠C=∠BEO BO=OQ，
∴△OQC≌△OBE，
∴OC=OE；

（2）解：设OE=OC=x，则BO=8-x，
在Rt△OQC中 OQ²+QC²=OC²，
∴4²+（8-x）²=x²，
∴x=5．
分析：（1）由AC是⊙O的切线，可作出过圆心连接切点的辅助线，利用三角形全等可以证出OC=OE
（2）利用勾股定理可以得出．
点评：此题考查了切线的性质定理，三角形全等的判定和勾股定理，题目比较典型．