题目内容

如图，已知点A（3，m），B（n，6）在反比例函数 $数学公式$ 的图象上，直线AB与x轴交于点C，如果点D在坐标轴上，且OA=DC．
（1）写出A，B两点的坐标；
（2）求直线AB的解析式；
（3）求点D的坐标．

解：（1）∵A（3，m），B（n，6）在反比例函数 $\text{[math]}$ 的图象上，
∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
∴m=-4，n=-2．
∴A（3，-4），B（-2，6）．

（2）设直线AB的解析式为y=kx+b，依题意，得
$\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ．
∴直线AB的解析式为：y=-2x+2．

（3）当y=0时，-2x+2=0，得 x=1，
∴C点坐标为（1，0）．
∵OA= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =5
①当点D在x轴上时，设D（a，0），由CD=OA，得|a-1|=5，
解得a=6或a=-4；
②当点D在y轴上时，设D（0，b），由CD=OA，得b²+1=25
解得b=± $\text{[math]}$ ．
∴D的坐标为：（6，0），（-4，0），（0， $\text{[math]}$ ）或（0，- $\text{[math]}$ ）．
分析：（1）把A、B点的坐标代入反比例函数 $\text{[math]}$ 中，即可得求出m、n的值，从而求出答案；
（2）设直线AB的解析式为y=kx+b，依据题意得到关于k、b的方程，解方程即可求出k、b的值，然后代入y=kx+b即可；
（3）把y=0代入y=-2x+2求出x的值，从而求出点C的坐标和OA的长，再分两种情况讨论：①当点D在x轴上时，②当点D在y轴上时，以防漏解．
点评：此题主要考查反比例函数的性质，注意通过解方程组求出点的坐标．同时要注意运用数形结合的思想．