Question

如图，已知在等腰直角三角形△DBC中，∠BDC=90°，BF平分∠DBC，与CD相交于点F，延长BD到A，使DA=DF，
（1）试说明：△FBD≌△ACD；
（2）延长BF交AC于E，且BE⊥AC，试说明：CE=

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BF；
（3）在（2）的条件下，若H是BC边的中点，连接DH与BE相交于点G．试探索CE，GE，BG之间的数量关系，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）由已知等腰直角三角形△DBC可推出DB=DC，且∠BDF=∠ADC=90°，与已知DA=DF通过SAS证得△FBD≌△ACD；
（2）先由（1）△FBD≌△ACD得出BF=AC，再由BF平分∠DBC和BE⊥AC通过ASA证得△ABE≌△CBE，即得CE=AE=

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AC，从而得出结论；
（3）连接CG，由H是BC边的中点和等腰直角三角形△DBC得出BG=CG，再由直角三角形CEG得出CG²=CE²+GE²，从而得出CE，GE，BG的关系．

解答：解：（1）∵DB=DC，∠BDF=∠ADC=90°
又∵DA=DF，
∴△BFD≌△ACD；

（2）∵△BFD≌△ACD，
∴BF=AC，
又∵BF平分∠DBC，
∴∠ABE=∠CBE，
又∵BE⊥AC，
∴∠AEB=∠CEB，
又∵BE=BE，
∴△ABE≌△CBE，
∴CE=AE=

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AC，
∴CE=

1

2

AC=

1

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BF；

（3）CE，GE，BG之间的数量关系为：CE²+GE²=BG²，
连接CG．
∵BD=CD，H是BC边的中点，
∴DH是BC的中垂线，
∴BG=CG，
 在Rt△CGE中有：CG²=CE²+GE²，
∴CE²+GE²=BG²．

点评：此题考查的知识点是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质及线段垂直平分线的性质，运用好SAS、ASA判定三角形全等及勾股定理是关键．