Question

如图，△ABC是边长为a的等边三角形，D是BC边的中点，过点D分别作AB、AC的垂线，垂足为E、F．
（1）计算：AD=

3

2

a

，EF=

3

4

a

（用含a的式子表示）；
（2）求证：DE=DF．

Answer 1

分析：（1）由三角形ABC为等边三角形，得到AB=AC，且∠B=60°，由D为BC的中点，利用三线合一得到AD垂直于BC，且AD为角平分线，求出BD的长，在直角三角形ABD中，由AB与BD的长利用勾股定理求出AD的长；由∠B=60°，DE垂直于AB，得到∠EDB=30°，利用30°所对的直角边等于斜边的一半求出BE的长，再由AB-EB求出AE的长，同理求出AF的长，得出AE：AB=AF：AC，且夹角相等，利用两对对应边成比例且夹角相等的两三角形相似得到三角形AEF与三角形ABC相似，根据求出的相似比，即可得到EF的长；
（2）由AD为角平分线，且DE垂直于AB，DF垂直于AC，利用角平分线定理即可得到DE=DF．

解答：解：（1）∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC=a，∠B=60°，
又D为BC的中点，
∴AD⊥BC，AD平分∠BAC，
∴BD=CD=

1

2

a，
在Rt△ABD中，根据勾股定理得：AD=

AB2-BD2

=

3

2

a；
在Rt△EBD中，∠EDB=30°，
∴EB=

1

2

BD=

1

4

a，AE=AB-EB=

3

4

a，
同理得到AF=

3

4

a，
∴

AE

AB

=

AF

AC

=

3

4

，且∠EAF=∠BAC=60°，
∴△AFE∽△ACB，
∴

EF

BC

=

3

4

，
则EF=

3

4

a；
故答案为：

3

2

a；

3

4

a；

（2）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF．

点评：此题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，以及含30°直角三角形的性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．