题目内容

如图，抛物的图象如图．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，求点D的坐标．

解：（1）设抛物线解析式为y=ax²+bx+c，
由图可知点A（-4，0），B（2，0），C（0，3），
所以， $\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ，

所以，抛物线的解析式为y=- $\text{[math]}$ x²- $\text{[math]}$ x+3；

（2）抛物线的对称轴为直线x=- $\text{[math]}$ =-1，
设直线AC与对称轴的交点为E，易求直线AC的解析式为y= $\text{[math]}$ x+3，
x=-1时，y=- $\text{[math]}$ +3= $\text{[math]}$ ，
AB=2-（-4）=6，OC=3，
△ACB的面积= $\text{[math]}$ ×6×3=9，
△ACD的面积= $\text{[math]}$ DE•4=9，
解得DE= $\text{[math]}$ ，
点D在点E的上方时，点D的纵坐标为 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
点D在点E的下方时，点D的纵坐标为 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ ，
所以，点D的坐标为（-1， $\text{[math]}$ ）或（-1， $\text{[math]}$ ）．
分析：（1）设抛物线解析式为y=ax²+bx+c，然后利用待定系数法求二次函数解析式即可；
（2）先根据抛物线的解析式求出对称轴解析式，设直线AC与对称轴的交点为E，先求出直线AC的解析式，再取出点E的坐标，然后求出△ACB的面积，再根据三角形的面积求出DE的长度，然后分点D在点E的上方与下方两种情况写出点D的坐标即可．
点评：本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，难点在于要分点D在AC的上方与下方两种情况讨论．