题目内容

（2012•拱墅区二模）如图，已知梯形ABCD的下底边长AB=8cm，上底边长DC=1cm，O为AB的中点，梯形的高DO=4cm．动点P自A点出发，在AB上匀速运行，动点Q自点B出发，沿B→C→D→A匀速运行，速度均为每秒1个单位，当其中一个动点到达终点时，另一动点也同时停止运动．设点P运动t（秒）时，△OPQ的面积为S（不能构成△OPQ的动点除外）．
（1）求S随t变化的函数关系式及t的取值范围；
（2）当t为何值时S的值最大？说明理由．
分析：（1）先分别求出当0＜t＜4时，当4＜t≤5时，当5＜t≤6时，当6＜t≤8时，△OPQ的底边和高，再根据面积公式即可求出S随t变化的函数关系式；
（2）分别求出当0＜t＜4时，当4＜t≤5时，当5＜t≤6时，当6＜t≤8时，S△OPQ的最大值，然后找出四个结果中最大的即可．
解答：解：（1）过点C作CE⊥AB，垂足为E，
∵CD=1，
∴OE=1，
∵O为AB的中点，AB=8，
∴OB=OA=4，
∴EB=4-1=3，
∵OD=4，
∴CE=4，
∴BC=5，
①如图（1），当0＜t＜4时，点Q在BC上，点P在点O左侧时，
过点Q作QF⊥AB，

则PO=4-t，BQ=t，
QF
CE
=
BQ
BC
，
QF
4
=
t
5
，
QF=
4
5
t，
S△OPQ=
1
2
PO•QF=
1
2
（4-t）•
4
5
t=
8
5
t-
2
5
t2；
②如图（2），当4＜t≤5时，

OP=t-4，QF=
4
5
t，
S△OPQ=
1
2
PO•QF=
1
2
（t-4）•
4
5
t=
2
5
t2-
8
5
t；
③如图（3），当5＜t≤6时，

OP=t-4，QF=4，
S△OPQ=
1
2
PO•QF=
1
2
（t-4）×4=2t-8；
④如图（4），当6＜t≤8时，

∵OA=OD=4
∴AD=
42+42
=4
2
，
∴AD+CD+CB=4
2
+1+5=6+4
2
，
∴AQ=6+4
2
-t，
∵
AQ
AD
=
QF
OD
，
∴
6+4
2
-t
4
2
=
QF
4
，
∴QF=
24+16
2
-4t
4
2
=4-
2
2
（t-6），
∴S△OPQ=
1
2
PO•QF=
1
2
（t-4）×[4-
2
2
（t-6）]=-
2
4
t2+
5
2
+4
2
t-8-6
2
；

（2）当0＜t＜4时，t=2S△OPQ最大，S△OPQ的最大值为
8
5
；
当4＜t≤5时，t=5S△OPQ最大，S△OPQ的最大值为2；
当5＜t≤6时，t=6S△OPQ最大，S△OPQ的最大值为4；
当6＜t≤8时，t=5+2
2
S△OPQ最大，S△OPQ的最大值为2+
9
2
4
，
则t=5+2
2
S△OPQ最大，S△OPQ的最大值为2+
9
2
4
．
点评：此题考查了相似形的综合，用到的知识点是相似三角形的判定与性质、二次函数的最值、勾股定理等，关键是根据题意画出符合要求的所有图形．
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1
2
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60°+
2
3
α
60°+
2
3
α
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n
+
180°
n
(n-1)α
n
+
180°
n
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