Question

如图，已知直角△ACB，AC=1，BC=

3

，过直角顶点C作CA₁⊥AB，垂足为A₁，再过A₁作A₁C₁⊥BC，垂足为C₁；过C₁作C₁A₂⊥AB，垂足为A₂，再过A₂作A₂C₂⊥BC，垂足为C₂；…，这样一直做下去，得到一组线段CA₁，A₁C₁，C₁A₂，…，则第12条线段A₆C₆=

 

．

Answer 1

分析：根据角的正弦函数与三角形边的关系，可求出各边的长，然后再总结出规律．

解答：解：根据勾股定理，在直角△ACB中得，AB=2，
∴sinA=

3

2

，
∴A₁C=1×

3

2

，
又∵A₁C₁⊥BC，CA₁⊥AB，
∴∠A₁CC₁=∠A，
∴在直角△A₁C₁C中，根据锐角三角函数得，
A₁C₁=1×(

3

2

)2，
以此类推，则A₆C₆=1×(

3

2

)12=(

3

2

)12．
故答案为(

3

2

)12．

点评：本题主要考查了勾股定理及相似三角形的判定与性质，考查了学生运用锐角三角函数表示未知的边及分析归纳能力．