Question

已知关于x的方程x²-（a+b）x+ab-1=0，x₁、x₂是此方程的两个实数根，现给出三个结论：①x₁≠x₂；②x₁x₂＜ab；③x₁²+x₂²＜a²+b²；④当a+b=ab时，方程有一根为1．则正确结论的序号是

①②④

．（填上你认为正确结论的所有序号）

Answer 1

分析：先计算判别式得到△=a-b）²+4＞0，根据判别式的意义可对①进行判断；根据根与系数的关系得到x₁x₂=ab-1，则可对②进行判断；根据根与系数的关系得到x₁+x₂=a+b，x₁x₂=ab-1，再利用完全平方公式计算得到x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=（a+b）²-2（ab-1）=a²+b²+2，则可对③进行判断；由a+b=ab得到x₁+x₂=x₁x₂+1，然后移项后分解因式得到x₁=1，x₂=1，则可对④进行判断．

解答：解：∵△=（a+b）²-4（ab-1）=（a-b）²+4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，所以①正确；
∵x₁x₂=ab-1，
∴x₁x₂＜ab，所以②正确；
∵x₁+x₂=a+b，x₁x₂=ab-1，
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=（a+b）²-2（ab-1）=a²+b²+2，
∴x₁²+x₂²，＞a²+b²，所以③错误；
∵a+b=ab，
∴x₁+x₂=x₁x₂+1，
∴x₁x₂-（x₁+x₂）+1=0，
∴（x₁-1）（x₂-1）=0，
∴x₁=1，x₂=1．所以④正确．
故答案为①②④．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

．也考查了一元二次方程根的判别式．