Question

已知△ABC中，AC=BC=3

2

，∠C=90°，AB上有一动点P，过P作PE⊥AC于E，PF⊥BC于F．
（1）设CF=x，用含x的代数式把Rt△AEP、Rt△PFB及矩形ECFP的面积表示出来；
（2）是否存在这样的P点，使Rt△AEP、Rt△PFB及矩形ECFP的面积都小于4．

Answer 1

分析：（1）由于△ABC是等腰Rt△，那么∠A=∠B=45°，由此可得△AEP、△BPF也是等腰Rt△，因此此题中相等的线段有AE=PE=CF=x，BF=PF=CE=3

2

-x，已知了这些线段的长，即可根据各自的面积公式进行解答．
（2）在直角坐标系中作出三个二次函数的图象，结合图象，令两函数关系式相等，求出x、y的值，再依据x的取值范围，求y的范围，进而判断面积是否小于4．

解答：解：（1）△AEP的面积为

1

2

x2，
△PFB的面积为

1

2

(3

2

-x)2；
矩形ECFP的面积为x（3

2

-x）．

（2）设y₁=

1

2

x²，y₂=x（3

2

-x），y₃=

1

2

（3

2

-x）²
这三个二次函数的图象如图所示，令

1

2

x2=x(3

2

-x)，
得x₁=0，x₂=2

2

；
当x₁=0时，y₁=y₂=0；当x₂=2

2

时，y₁=y₂=4；
∴y₁和y₂的交点坐标为O（0，0），A（2

2

，4）．
由图知，在2

2

≤x＜3

2

中，y₁≥4，
由x（3

2

-x）=

1

2

（3

2

-x）²
得x₃=

2

，x₄=3

2

；
当x₃=

2

时，y₂=y₃=4，
当x₄=3

2

时，y₂=y₃=0，
∴y₂和y₃的交点坐标为B（

2

，4），C（3

2

，0），
由图知，在0＜x≤

2

时，y₃≥4，
在

2

≤x≤2

2

时，y₂≥4，
∴在0＜x＜3

2

中，y₁，y₂，y₃中最大面积都不小于4，
因此不存在这样的点P，使得三个图形的面积都小于4．

点评：本题二次函数的综合题，要求会求两图象的交点，结合图象解决问题．