Question

如图，已知△ABC中，∠C=∠ABC，以AB为直径作⊙O交BC于D，DE⊥AC，垂足为E．
（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）如果BC=10，CE=4，求直径AB的长．

Answer 1

分析：（1）连接OD，根据等腰三角形的性质或平行线的性质易得OD⊥DE，故DE与⊙O相切．
（2）本题方法较多，需连接AD，分析图形，通过相似三角形的性质或三角函数的定义求出AB的值即可．

解答：解：
（1）方法一：DE与⊙O相切；（1分）
理由：连接OD，（2分）
∵OB=OD，
∴∠ABC=∠BDO；（3分）
又∵∠C=∠ABC，
∴∠BDO=∠C；
∵DE⊥AC，
∴∠C+∠CDE=90°，
∴∠BDO+∠CDE=90°，（4分）
∴∠EDO=180°-（∠BDO+∠CDE）=90°，
∴OD⊥DE，
∴DE与⊙O相切．（5分）
方法二：DE与⊙O相切；（1分）
理由：连接OD；（2分）
∵OB=OD，
∴∠ABC=∠BDO；（3分）
又∵∠C=∠ABC，
∴∠C=∠BDO，
∴OD∥AC，（4分）
∴∠EDO=∠CED；
∵DE⊥AC，
∴∠CED=90°，
∴∠EDO=90°，
∴OD⊥DE，
∴DE与⊙O相切．（5分）

（2）方法一：连接AD；（6分）
∵∠C=∠ABC，
∴AB=AC；
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°；
∴AD⊥BC；（7分）
∴BD=CD=

1

2

BC=5；（8分）
∵DE⊥AC，
∴∠CED=90°；
在Rt△CDE中，cosC=

CE

CD

，
在Rt△ACD中，cosC=

CD

AC

，
∴

CE

CD

=

CD

AC

，（9分）
即

4

5

=

5

AC

；
∴AC=

25

4

，
∴AB=

25

4

．（10分）

方法二：连接AD．（6分）
∵∠C=∠ABC，
∴AB=AC．
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，（7分）
∴AD⊥BC，
∴BD=CD=

1

2

BC=5．（8分）
在Rt△CDE中，cosC=

CE

CD

，
在Rt△ADB中，cos∠ABD=

BD

AB

，
又∵∠C=∠ABC，
∴

CE

CD

=

BD

AB

，
即

4

5

=

5

AB

；（9分）
∴AB=

25

4

．（10分）

方法三：连接AD；（6分）
∵∠C=∠ABC，
∴AB=AC，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，（7分）
∴CD=

1

2

BC=5；（8分）
∵DE⊥AC，
∴∠CED=90°，
∴∠CED=∠CDA；
又∵∠C=∠C，
∴△CED∽△CDA，（9分）
∴

CE

CD

=

CD

CA

，即

4

5

=

5

CA

，
∴CA=

25

4

；
∴AB=

25

4

．（10分）

方法四：连接AD；（6分）
∵∠C=∠ABC，
∴AB=AC；
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，（7分）
∴BD=CD=

1

2

BC=5；（8分）
∵DE⊥AC，
∴∠CED=90°，
∴∠CED=∠ADB；
又∵∠C=∠ABC，
∴△CED∽△BDA，（9分）
∴

CE

BD

=

CD

AB

，
即

4

5

=

5

AB

，
∴AB=

25

4

．（10分）

点评：本题考查的是切线的判定、相似三角形的判定与性质以及三角函数等知识．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可．要注意连接过切点的半径与构造直径所对的圆周角是圆中的常见辅助线．