Question

如图所示，在△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC于点E，已知AB=12cm，BC=15，则S_△ABC=

54cm²

，DE的长是

4

cm．

Answer 1

分析：利用勾股定理列式求出AC的长，再根据三角形的面积公式列式进行计算即可得解；
根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得AD=DE，再利用“HL”证明Rt△ABD和Rt△EBD全等，根据全等三角形对应边相等求出BE，设DE的长为x，然后表示出CD、CE，在Rt△CDE中，利用勾股定理列式求解即可．

解答：解：∵∠A=90°，AB=12cm，BC=15，
∴AC=

BC2-AB2

=

152-122

=9，
∴S_△ABC=

1

2

AB•AC=

1

2

×12×9=54cm²；

∵BD平分∠ABC，∠A=90°，DE⊥BC，
∴AD=DE，
在Rt△ABD和Rt△EBD中，

BD=BD AD=DE

，
∴Rt△ABD≌Rt△EBD（HL），
∴BE=AB=12cm，
设DE=x，则CD=9-x，CE=15-12=3，
在Rt△CDE中，DE²+CE²=CD²，
即x²+3²=（9-x）²，
整理得，18x=72，
解得x=4cm．
故答案为：54cm²，4．

点评：本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，第二问转化到同一个直角三角形中利用勾股定理列式是解题的关键．