Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点O在BC上，CD为⊙O的直径，⊙O切AB于E，若AC=8，AB=17，求⊙O的半径．

Answer 1

分析：连接OE，根据∠C=90°，推出AC与⊙O相切于点C，由⊙O切AB于E，推出AC=AE=8，即得BE=9，根据题意，结合勾股定理即可得BC=15，然后通过求证△ACB∽△OEB，根据对应边成比例，即可求出OE的长度，即⊙O的半径长度．

解答：解：连接OE，
∵∠C=90°，
∴AC与⊙O相切于点C，
∵⊙O切AB于E，AC=8，
∴AC=AE=8，OE⊥AB，
∵AB=17，
∴BE=9，
∵Rt△ABC中，AC=8，AB=17，
∴BC=15，
∵∠B=∠B，
∴△ACB∽△OEB，
∴

AC

OE

=

BC

BE

，
∵AC=8，BC=15，BE=9，
∴OE=

24

5

，即⊙O的半径为

24

5

．

点评：本题主要考查勾股定理，相似三角形的判定与性质，切线的性质等知识点的应用，关键在于熟练的应用各性质定理，求出BE的长度，正确的求证△ACB∽△OEB．