Question

已知抛物线y=ax²+bx+c与x轴相交于点A（，0）、B（，0），与y轴相交于点C（0，）
（1）求抛物线的解析式，并求顶点D的坐标；
（2）在y轴的负半轴上是否存在以点P、O、B为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）取点E（，0），F（0，），直线l经过E、F两点，点G是线段AD的中点①点G是否在直线l上？请说明理由；
②在抛物线上是否存在点M，使点M关于直线l的对称点在x轴上？若存在，请写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c与x轴相交于点A（，0）、B（，0），
∴设该抛物线的解析式为y=a（x+）（x-）（a≠0），
把C（0，）代入，得
=-a，
解得，a=-1，
∴该抛物线的解析式为y=-（x+）（x-）=-（x+）²+4，
∴顶点D的坐标是（-，4）．
综上所述，抛物线的解析式是y=-（x+）（x-）（或y=-（x+）²+4），顶点D的坐标是（-，4）；

（2）如图1，在y轴负半轴上存在符合条件的点P，设点P的坐标为（0，t）（t＜0），
∵A（，0）、B（，0），C（0，），
∴OA=，OB=，OC=，OP=-t．
∵∠AOC=∠BOP=90°，
∴只有△BOP∽△AOC和△POB∽△AOC两种情况．
①当△BOP∽△AOC时，=，即=，解得t=-，则此时P（0，-）；
②当△POB∽△AOC时，=，即=，解得t=-1，则此时P（0，-1）．
综上所述，符合条件的点P的坐标是（0，-）或P（0，-1）；

（3）如图2，①设直线l的解析式为y=kx+b（k≠0），
∵直线l经过点E（，0），F（0，），则，
解得，，
则直线l的解析式为：y=-x+．
∵A（，0）、D（-，4），
∴线段AD的中点G的坐标是（-，2），
当x=-时，y=-×（-）+=2，即点G（-，2）在直线l上；
②在抛物线上存在符合条件的点M．
设抛物线的对称轴与x轴交点为H，则点H的坐标为（-，0），
∵E（，0），A（，0）、D（-，4），
∴AE=DE，
又∵点G是AD的中点，
∴直线l是线段BD的垂直平分线，
∴点D关于直线l的对称点就是点B，
∴点M就是直线DE与抛物线的交点，
易求直线DE的解析式为：y=-x+2．
则，
解得，，
则符合条件的点M有2个，它们的坐标分别是（-，4）、（-，）．
分析：（1）已知抛物线与x轴的两个交点，所以设该抛物线的解析式为y=a（x+）（x-）（a≠0），然后把点C的坐标代入求a的值即可；
（2）根据点A、C的坐标求出OA、OC的长．因为∠AOC=∠BOP=90°，所以只有△BOP∽△AOC和△POB∽△AOC两种情况．利用相似三角形对应边成比例列式求出OP的长，从而得解；
（3）①设直线l的解析式为y=kx+b（k≠0），利用待定系数法求一次函数解析式求出直线l的解析式，再利用中点公式求出点G的坐标，然后根据直线上点的坐标特征验证即可；
②设抛物线的对称轴与x轴交点为H，求出OE、OF、HD、HB的长，然后求出△OEF和△HDB相似，根据相似三角形对应角相等求出∠OFE=∠HBD，然后求出EG⊥BD，从而得到直线l是线段BD的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质点D关于直线l的对称点就是B，从而判断出点M就是直线DE与抛物线的交点，再设直线DE的解析式为y=mx+n，利用待定系数法求一次函数解析求出直线DE的解析式，然后与抛物线解析式联立求解即可得到符合条件的点M．
点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了抛物线与坐标轴的交点的求解，求顶点坐标，待定系数法求一次函数解析式，点在直线上的验证，相似三角形的判定与性质，联立两函数解析式求交点坐标的方法，综合性较强，难度较大，（2）要根据对应边的不同分情况讨论，（3）求出直线l是线段BD的垂直平分线是解题的关键．