Question

已知关于x的方程k²x²+（1-2k）x+1=0有两个不相等的实数根x₁、x₂．
（1）求k的取值范围．
（2）若|x₁+x₂|=2x₁x₂-3，求k的值．

Answer 1

解：（1）∵方程有两个不相等实数根
∴
解之得：且k≠0；

（2）根据题意得x₁+x₂=，x₁x₂=，
∵且k≠0
∴2k-1＜0，k²＞0
∴，
∴|x₁+x₂|=2x₁x₂-3，
∴
化为整式方程得 3k²-2k-1=0，即（3k+1）（k-1）=0，
∴k₁=-，k₂=1，
又 且k≠0
∴k=1不合题意，舍去，
∴k=-．
分析：（1）根据△的意义得到，然后解不等式组即可得到k的取值范围；
（2）根据根与系数的关系得到得x₁+x₂=，x₁x₂=，由（1）得且k≠0，则由|x₁+x₂|=2x₁x₂-3得到，化为整式方程得 3k²-2k-1=0，利用因式分解法解方程，可得到满足条件的k的值．
点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的根与系数的关系．