Question

如图，已知AB是⊙O的直径，PB为⊙O的切线，B为切点，OP⊥弦BC于点D且交⊙O于点E．
（1）求证：∠OPB=∠AEC；
（2）若点C为半圆的三等分点，请你判断四边形AOEC为哪种特殊四边形？并说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵AB是⊙O的直径，PB为⊙O的切线，
∴PB⊥AB．
∴∠OPB+∠POB=90°．
∵OP⊥BC，
∴∠ABC+∠POB=90°．
∴∠ABC=∠OPB．
又∵∠AEC=∠ABC，
∴∠OPB=∠AEC．
（2）解：四边形AOEC是菱形．
∵OP⊥弦BC于点D且交⊙O于点E，∴=．
∵C为半圆ACB¯的三等分点，∴==．
∴∠ABC=∠ECB．∴AB∥CE．
∵AB是⊙O的直径，∴AC⊥BC．
又　OP⊥弦BC于点D且交⊙O于点E，
∴AC∥OE．∴四边形AOEC是平行四边形．
又　OA=OE，∴四边形AOEC是菱形．

解析