Question

如图，四边形ABCD是矩形，把矩形ABCD沿直线AC折叠后，点B落在点E处，连接DE．
（1）试判定四边形ACDE的形状，说明理由；
（2）矩形ABCD中，若AB=a，AD=b（a＜b），求DE的值．

Answer 1

解：（1）四边形ACDE是等腰梯形．理由如下：
作EG⊥AC于G点，DH⊥AC于H点，如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴△ABC≌△CDA，AB∥DC，AB=DC，
∵矩形ABCD沿直线AC折叠后，点B落在点E处，
∴△AEC≌△CDA，AE=DC，
∴EG=DH，
∴ED∥AC，
∵AE=DC，AE与DC不平行，
∴四边形ACDE是等腰梯形；

（2）∵AB=a，AD=b，
∴DC=a，
∴AC=，AD•DC=AC•DH，
∴DH==，
在Rt△DCH中，HC²=DC²-DH²=a²-（）²=，
∴HC=，
而HC=AG，
∴GH=AC-2HC=，
∴ED=．
分析：（1）作EG⊥AC于G点，DH⊥AC于H点，根据矩形的性质得到△ABC≌△CDA，AB∥DC，AB=DC，再根据折叠的性质得△AEC≌△CDA，则EG=DH，所以ED∥AC，由于AE=DC，AE与DC不平行，于是可判断四边形ACDE是等腰梯形；
（2）先根据勾股定理计算出AC=，再根据等积法得到AD•DC=AC•DH，则DH=，在Rt△DCH中理由勾股了计算出HC=，然后根据等腰梯形的性质得到ED=GH=AC-2HC=．
点评：本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等．也考查了等腰梯形的判定与性质、矩形的性质以及勾股定理．