Question

如图，AB为⊙O的直径，P为AB延长线上的一点，PC切⊙O于C，tan∠P=

3

4

，则sin∠A=（　　）

• A、

  3

  5

• B、

  2

  5

• C、

  5

  5

• D、

  5

  10

Answer 1

分析：作辅助线BE⊥CP，交点为E．根据PC切⊙O于C，可求得tan∠P=

3

4

=

OC

CP

．
设OC=3k，CP=4k，则OP=5k，利用

BE

OC

=

BP

OP

=

EP

CP

，可求得BE=

6

5

k，EP=

8

5

k，从而得CE=

12

5

k．
在直角三角形ABC中，求出BC的值就可求出sin∠A．

解答：解：作辅助线BE⊥CP，交点为E，
∵PC切⊙O于C，tan∠P=

3

4

=

OC

CP

，
设OC=3k，CP=4k，则OP=5k．
∵OB=OC=3k，BP=2k，
∴

BE

OC

=

BP

OP

=

EP

CP

．
∴BE=

6

5

k，EP=

8

5

k，
∴CE=

12

5

k，BC=

6 5

5

．
∴sin∠A=

BC

AB

=

6 5 5

6

=

5

5

．
故选C．

点评：此题的关键是要把∠A放到一个直角三角形中，在直角三角形ABC中，求出BC的值就可求出sin∠A．
所以又要把BC放到一个直角三角形中，这就要添加辅助线BE⊥CP，交点为E，这是本题的关键．