Question

（2013•香坊区一模）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，点F在CD上，DH⊥BF且与AC的延长线交于点E．若AC=

6

CF，CD=3，则AE的长为

3

6

．

Answer 1

分析：由于Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，利用等角的余角相等得到∠BCD=∠A，再由DH⊥BF得到∠DFB=∠HDB，根据相似三角形的判定得到△BFC∽△EDA，利用相似比得AE•CF=AD•BC①，易得Rt△ACD∽△CBD，利用相似比得AC•CD=AD•BC②，则AE•CF=AC•CD，然后把AC=

6

CF，CD=3代入计算即可得到AE的长．

解答：解：∵Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，
∴∠BCD=∠A，
∵DH⊥BF，
∴∠DFB=∠HDB，
∴∠BFC=∠ADE，
∴△BFC∽△EDA，
∴

BC

EA

=

CF

AD

，即AE•CF=AD•BC①，
∵∠BCD=∠A，
∴Rt△ACD∽△CBD，
∴

AC

BC

=

AD

CD

，即AC•CD=AD•BC②，
由①②得AE•CF=AC•CD，
∵AC=

6

CF，CD=3，
∴AE•CF=

6

CF•3，
∴AE=3

6

．
故答案为3

6

．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质：有两组角对应相等的两三角形相似；相似三角形的对应边的比相等，对应角相等．