Question

如图，已知AB是⊙O的一条固定的弦，C是弦AB上的一动点（不与点A、B重合），连接CO并延长CO交⊙O于点D，连接AD．

（1）若OB=2，∠B=28°，求弦AB的长（精确到0.01）；
（2）当∠B=30°，且∠D=20°时，求∠BOD的度数；
（3）若∠B=α度（0°＜α＜45°），且△ACD为等腰三角形，求它的底角的度数（用含α的代数式表示）．

Answer 1

分析：（1）首先过点O作OM⊥AB，则AM=BM，在Rt△OBM中，利用cosB=

BM

OB

，即可求出BM的长，进而求出AB即可；
（2）首先得出OA=OB=OD，利用∠B=30°，∠D=20°，得出∠DAO=∠D=20°，∠OAB=∠B=30°，求出∠DAB=50°，即可利用圆周角定理得出∠DOB度数；
（3）利用等腰三角形的性质利用当DA=DC时，当CA=CD时，当AC=AD时求出底角的度数即可．

解答：解：（1）如图1，过点O作OM⊥AB，则AM=BM，
在Rt△OBM中，
∵cosB=

BM

OB

，
∴BM=OB•cosB=2×cos28°≈1.766，
故AB=2×1.766≈3.53；

（2）如图1，连接AO，
∵OA、OB、OD是⊙O的半径，
∴OA=OB=OD，
∵∠B=30°，∠D=20°，
∴∠DAO=∠D=20°，∠OAB=∠B=30°，
∴∠DAB=50°，
∴∠DOB=100°；

（3）如备用图1，设∠D=x°，连接OA，
∵OD=OA=OB，
∴∠DAO=∠ADO=x，∠CAO=∠ABO=α，
若DA=DC，则x+2（x+α）=180，
故x=

180-2α

3

，
则底角∠DAC=x+α=

180-2α

3

+α=60+

1

3

α，
若CA=CD，显然∠CAD＞x，此种情况不存在，
若AC=AD，则2x+x+α=180，
故x=

180-α

3

，
则底角∠D=x=60-

1

3

α．

点评：此题主要考查了圆的综合应用以及圆周角定理和等腰三角形的性质等知识，注意分类讨论思想的应用得出符号要求的答案，不要漏解．