Question

如图-1，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=5，OC=4．
（1）在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处，求D，E两点的坐标；
（2）如图-2，若AE上有一动点P（不与A，E重合）自A点沿AE方向向E点匀速运动，运动的速度为每秒1个单位长度，设运动的时间为t秒（），过P点作ED的平行线交AD于点M，过点M作AE的平行线交DE于点N．求四边形PMNE的面积S与时间t之间的函数关系式；当t取何值时，S有最大值？最大值是多少？
（3）在（2）的条件下，当t为何值时，以A，M，E为顶点的三角形为等腰三角形，并求出相应的时刻点M的坐标．

Answer 1

解：（1）依题意可知，折痕是四边形的对称轴， ∴在中，，． ． ． ∴点E坐标为（2，4）． 在中，， 又．  ． 解得：． 点坐标为 （2）如图①，． ，又知，，， ．又 而显然四边形为矩形． 又 ∴当时，有最大值． （3）（i）若以为等腰三角形的底，则（如图①） 在中，， ， ∴P为的中点， 又， ∴M为的中点．过点M作，垂足为F，则是的中位线， ，， ∴当时，，为等腰三角形． 此时点M坐标为． （ii）若以AE为等腰三角形的腰，则（如图②） 在中，． 过点M作，垂足为F． ， ． ． ， ． ， ， ∴当时，（），此时点M坐标为． 综合（i）（ii）可知，或时，以为顶点的三角形为等腰三角形， 相应点M的坐标为或．