Question

【题目】已知：抛物线y＝ax2﹣3（a﹣1）x+2a﹣6（a＞0）．

（1）求证：抛物线与x轴有两个交点．

（2）设抛物线与x轴的两个交点的横坐标分别为x1，x2（其中x1＞x2）．若t是关于a的函数、且t＝ax2﹣x1，求这个函数的表达式；

（3）若a＝1，将抛物线向上平移一个单位后与x轴交于点A、B．平移后如图所示，过A作直线AC，分别交y的正半轴于点P和抛物线于点C，且OP＝1．M是线段AC上一动点，求2MB+MC的最小值．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）t＝a﹣5；（3）2MB+MC的最小值为．

【解析】

（1）要证抛物线与x轴有两个交点，可求出对应的一元二次方程的根的判别式的值，利用完全平方公式的非负性说明△＞0即可；

（2）令y＝0，求出含a的两个交点的横坐标，然后根据条件确定x2和x1，再代入t＝ax2﹣x1中整理即可；

（3）易求出平移后抛物线的解析式及A，B的坐标和直线AC的解析式，然后联立直线AC的解析式和二次函数的解析式可得点C的坐标，过C作CN⊥y轴，过M作MG⊥CN于G，过C作CH⊥x轴于H，易得∠GCM＝30°，则，于是2MB+MC＝2（MB+GM），而MB+GM的最小值即B到CN的最小距离CH，问题即得解决．

（1）证明：△＝b2﹣4ac＝[﹣3（a﹣1）]2﹣4a（2a﹣6）＝a2+6a+9＝（a+3）2，

∵a＞0，∴（a+3）2＞0，

∴抛物线与x轴有两个交点；

（2）解：令y＝0，则ax2﹣3（a﹣1）x+2a﹣6＝0，

∵a＞0，∴，∴x=2或，

∵a＞0，∴，

∵x1＞x2，∴x1＝2，，

∴，

∴t＝a﹣5；

（3）解：当a＝1时，抛物线为y＝x2﹣4，向上平移一个单位得y＝x2﹣3，

令y＝0，则x2﹣3＝0，解得：，∴A（，0），B（，0），∴AO＝，

∵OP＝1，∴P（0，1），设直线AC的解析式为，把点A（，0）代入，得：，∴直线AC的解析式为：，

联立：，解得：，，∴点C坐标为（，），

在Rt△AOP中，根据勾股定理，得：AP＝，∴∠OAP=30°，

过C作CN⊥y轴，过M作MG⊥CN于G，过C作CH⊥x轴于H，

∵CN∥x轴，∴∠GCM＝∠PAO=30°，∴，

∴，

∵B到CN最小距离为CH，

∴MB+GM的最小值为CH的长度，

∴2MB+MC的最小值为．