Question

已知关于x的方程x+

2

x

=3+

2

3

的两个解是x1=3，x2=

2

3

；
又已知关于x的方程x+

2

x

=4+

2

4

的两个解是x1=4，x2=

2

4

；
又已知关于x的方程x+

2

x

=5+

2

5

的两个解是x1=5，x2=

2

5

；
…，
小王认真分析和研究上述方程的特征，提出了如下的猜想．
关于x的方程x+

2

x

=c+

2

c

的两个解是x1=c，x2=

2

c

；并且小王在老师的帮助下完成了严谨的证明（证明过程略）．小王非常高兴，他向同学提出如下的问题．
（1）关于x的方程x+

2

x

=11+

2

11

的两个解是x₁=

 

和x₂=

 

；
（2）已知关于x的方程x+

2

x-1

=12+

2

11

，则x的两个解是多少？

Answer 1

分析：（1）根据上述的结论方程x+

2

x

=c+

2

c

的两个解是x1=c，x2=

2

c

，即可猜想得到答案；
（2）可以把x-1看作一个整体，即方程两边同时减去1，得x-1+

2

x-1

=11+

2

11

，然后根据猜想得到x-1=11，x-1=

2

11

，进一步求得方程的解．

解答：解：（1）根据猜想的结论，则x₁=11，x₂=

2

11

；

（2）原方程可以变形为x-1+

2

x-1

=11+

2

11

，
则x-1=11，x-1=

2

11

．
则x₁=12，x₂=

13

11

．

点评：此题要能够根据探索得到的结论进行分析求解，能够运用换元法进行求解，有一定难度．