题目内容
如图所示，在△ABC中，∠C=90°，D为BC边的中点，DE⊥AB于E，则AE2-BE2等于
- A.AC2
- B.BD2
- C.BC2
- D.DE2
A
分析：取AB的中点F，连接DF．观察要求的式子，首先利用平方差公式进行转换，可得AE2-BE2=（AE+BE）（AE-BE）=AB•2EF=4EF•BF，只需求解BF•EF的值；
根据射影定理，易证△DEF∽△BDF，得到EF•BF=DF2．再进一步观察选择题的答案，结合三角形的中位线定理即可求解．
解答：作AB的中点F，连接DF，
则DF∥AC，DF=
AC．
在Rt△BDF中，又DE⊥AB，得△DEF∽△BDF．
∴
．
即EF•BF=DF2=
AC2．
∴AE2-BE2=（AE+BE）（AE-BE）=AB•2EF=4EF•BF=AC2．
故选A．
点评：巧妙构造辅助线，运用因式分解的方法把要求的结论进行转换，结合相似三角形的性质以及三角形的中位线定理进行解答．
分析：取AB的中点F，连接DF．观察要求的式子，首先利用平方差公式进行转换，可得AE2-BE2=（AE+BE）（AE-BE）=AB•2EF=4EF•BF，只需求解BF•EF的值；
根据射影定理，易证△DEF∽△BDF，得到EF•BF=DF2．再进一步观察选择题的答案，结合三角形的中位线定理即可求解．
解答：作AB的中点F，连接DF，
则DF∥AC，DF=
AC．在Rt△BDF中，又DE⊥AB，得△DEF∽△BDF．
∴
．即EF•BF=DF2=
AC2．∴AE2-BE2=（AE+BE）（AE-BE）=AB•2EF=4EF•BF=AC2．
故选A．
点评：巧妙构造辅助线，运用因式分解的方法把要求的结论进行转换，结合相似三角形的性质以及三角形的中位线定理进行解答．
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