Question

【题目】如图，四边形是正方形，是等边三角形，为对角线（不含点）上任意一点，将绕点逆时针旋转得到，连接．

（1）证明：；

（2）当点在何处时，的值最小，并说明理由；

（3）当的最小值为时，则正方形的边长为___________．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）当点位于与的交点处时，的值最小，理由见解析；（3）．

【解析】

(1)由题意得MB=NB，∠ABN=15°，所以∠EBN=45°，容易证出△AMB≌△ENB；
(2)根据"两点之间线段最短”，当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的长；
(3)过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，由题意求出∠EBF=30°，设正方形的边长为x，在Rt△EFC中，根据勾股定理求得正方形的边长为.

解：（1）∵是等边三角形，

∴，

∵，

∴，即．

又∵，

∴；

（2）如图，连接，当点位于与的交点处时，的值最小．

理由如下：

连接，

由（1）知，，

∴．

∵，

∴是等边三角形，

∴．

∴根据“两点之间线段最短”，得最短．

当点位于与的交点处时，的值最小，即等于的长．

（3）正方形的边长为边．

过点作交的延长线于，

∴．

设正方形的边长为，则，．

在中，

∵，

∴，

解得，（舍去负值）．

∴正方形的边长为．