Question

如图，矩形ABCD中，点P在边CD上，且与点C、D不重合，过点A作AP的垂线与CB的延长线相交于点Q，连接PQ，PQ的中点为M．

(1)求证：△ADP∽△ABQ；

(2)若AD＝10，AB＝20，点P在边CD上运动，设DP＝x，BM ²＝y，求y与x的函数关系式，并求线段BM长的最小值；

(3)若AD＝10，AB＝a，DP＝8，随着a的大小的变化，点M的位置也在变化，当点M落在矩形ABCD外部时，求a的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形 　　∴∠ADP＝∠ABC＝∠BAD＝90° 　　∵∠ABC＋∠ABQ＝180° 　　∴∠ABQ＝∠ADP＝90° 　　∵AQ⊥AP 　　∴∠PAQ＝90° 　　∴∠QAB＋∠BAP＝90° 　　又∵∠PAD＋∠BAP＝90° 　　∴∠PAD＝∠QAB 　　在△ADP与△ABQ中 　　∵ 　　∴△ADP∽△ABQ 　　(2)如图，作MN⊥QC，则∠QNM＝∠QCD＝90°] 　　又∵∠MQN＝∠PQC 　　∴△MQN∽△PQC 　　∴ 　　∵点M是PQ的中点 　　∴ 　　∴ 　　又∵ 　　∴ 　　 　　∵△ADP∽△ABQ 　　∴　 　　∴ 　　∵ 　　∴ 　　在Rt△MBN中，由勾股定理得： 　　即： 　　当即时，线段BM长的最小值． 　　(3)如图，当点PQ中点M落在AB上时，此时QB＝BC＝10 　　由△ADP∽△ABQ得解得： 　　∴随着a的大小的变化，点M的位置也在变化， 　　当点M落在矩形ABCD外部时，求a的取值范围为：a＞12.5