Question

如图所示，已知，如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使CE=CD，又DM⊥BC，AB=10cm．
（1）求BE的长；
（2）求证：BM=EM．

Answer 1

分析：求BE的长，即BC与CE的和，AB=10，所以BC=10，因为CE=CD，CD=

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2

AC，可求BE的长．第二问中由（1）可求∠E=∠BDC=30°，得出BD=DE，因为DM⊥BC，进而可证明两线段相等．

解答：（1）解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC=10cm
又∵D是AC的中点，
∴CD=

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2

AC=5cm
又∵CD=CE
∴CE=5cm
BE=BC+CE=10+5=15cm；

证明：（2）∵△ABC是等边三角形，
D是AC的中点，
∴BD平分∠ABC（三线合一），
∴∠ABC=2∠DBE．∵CE=CD，
∴∠CED=∠CDE．
又∵∠ACB=∠CED+∠CDE，
∴∠ACB=2∠E．
又∵∠ABC=∠ACB，
∴2∠DBC=2∠E，
∴∠DBC=∠E，
∴BD=DE．
又∵DM⊥BE，
∴BM=EM．
或（2）证明：
∵在等边△ABC中，BD是中线
∴BD⊥AC，∠ACB=60°
∴∠DBC=30°
又∵CE=CD
∴∠E=∠CDE=

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2

∠ACB=30°
∴∠DBC=∠E
∴BD=DE
又∵BM⊥BE
∴BM=EM．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质；可围绕结论寻找全等三角形，运用全等三角形的性质判定线段相等，证得∠DBC=∠E是正确解答本题的关键．