Question

平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若E、F是线段AC上的两动点，分别从A、C两点以1cm/s的速度向C、A运动，若BD=12cm，AC=16cm．
（1）四边形DEBF是平行四边形吗？请说明理由；
（2）当运动时间t为多少时，四边形DEBF是矩形．

Answer 1

解：（1）设运动时间为t，
由题意得：AE=CF=t．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，BO=DO，
∴EO=FO，
∴四边形DEBF是平行四边形；

（2）∵AO=CO=AC=8cm，BO=DO=BD=6cm，
∴当OE=OB时，即AO-AE=BO时，8-t=6，
此时t=2，或如图2当OF=OB时，即t-8=6，此时t=14．
∴当t=2s或14s时，四边形DEBF是矩形．
分析：（1）由平行四边形ABCD的对角线互相平分得到AO=CO，BO=DO；由点E、F的运动速度、时间都相等可以得到AE=CF，则EO=FO，属于对角线互相平分的四边形EBFD是DEBF是平行四边形；
（2）矩形的对角线相等，由此可以得到EF=BD，所以易求t的值．
点评：本题考查了平行四边形的判定与性质以及矩形的判定．矩形是对角线相等的平行四边形．