题目内容
如图1，已知：抛物线y=| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
（1）B、C两点坐标分别为B（
（2）判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）若△ABC内部能否截出面积最大的矩形DEFC（顶点D、E、F、G在△ABC各边上）？若能，求出在AB边上的矩形顶点的坐标；若不能，请说明理由．
分析：（1）令x=0以及y=0代入y=
x-2得出B，C的坐标．把相关坐标代入抛物线可得函数关系式．
（2）已知AB，AC，BC的值，根据反勾股定理可证明△ABC是直角三角形．
（3）证明△CGF∽△CAB，利用线段比求出有关线段的值．求出S矩形DEFG的最大值．再根据△ADG∽△AOC的线段比求解．
| 1 |
| 2 |
（2）已知AB，AC，BC的值，根据反勾股定理可证明△ABC是直角三角形．
（3）证明△CGF∽△CAB，利用线段比求出有关线段的值．求出S矩形DEFG的最大值．再根据△ADG∽△AOC的线段比求解．
解答：解：（1）令x=0，y=-2，
当y=0代入y=
x-2得出：x=4，
故B，C的坐标分别为：
B（4，0），C（0，-2）．（2分）
y=
x2-
x-2．（4分）
（2）△ABC是直角三角形．（5分）
证明：令y=0，则
x2-
x-2=0．
∴x1=-1，x2=4．
∴A（-1，0）．（6分）
解法一：∵AB=5，AC=
，BC=2
．（7分）
∴AC2+BC2=5+20=25=AB2．
∴△ABC是直角三角形．（8分）
解法二：∵AO=1，CO=2，BO=4，
∴
=
=
∵∠AOC=∠COB=90°，
∴△AOC∽△COB．（7分）
∴∠ACO=∠CBO．
∵∠CBO+∠BCO=90°，
∴∠ACO+∠BCO=90度．
即∠ACB=90度．
∴△ABC是直角三角形．（8分）
（3）能．①当矩形两个顶点在AB上时，如图1，CO交GF于H．
∵GF∥AB，
∴△CGF∽△CAB．
∴
=
．（9分）
解法一：设GF=x，则DE=x，
CH=
x，DG=OH=OC-CH=2-
x．
∴S矩形DEFG=x•（2-
x）=-
x2+2x=-
（x-
）2+
．（10分）
当x=
时，S最大．
∴DE=
，DG=1．
∵△ADG∽△AOC，
∴
=
，
∴AD=
，
∴OD=
，OE=2．
∴D（-
，0），E（2，0）．（11分）
解法二：设DG=x，则DE=GF=
．
∴S矩形DEFG=x•
=-
x2+5x=-
（x-1）2+
．（10分）
∴当x=1时，S最大．
∴DG=1，DE=
．
∵△ADG∽△AOC，
∴
=
，
∴AD=
，
∴OD=
，OE=2．
∴D（-
，0），E（2，0）．（11分）
②当矩形一个顶点在AB上时，F与C重合，如图2，
∵DG∥BC，
∴△AGD∽△ACB．
∴
=
．
解法一：设GD=x，
∴AC=
，BC=2
，
∴GF=AC-AG=
-
．
∴S矩形DEFG=x•（
-
）=-
x2+
x
=-
（x-
）2+
．（12分）
当x=
时，S最大．∴GD=
，AG=
，
∴AD=
=
．
∴OD=
∴D（
，0）（13分）
解法二：设DE=x，
∵AC=
，BC=2
，
∴GC=x，AG=
-x．
∴GD=2
-2x．
∴S矩形DEFG=x•（2
-2x）=-2x2+2
x=-2（x-
）2+
（12分）
∴当x=
时，S最大，
∴GD=
，AG=
．
∴AD=
=
．
∴OD=
∴D（
，0）（13分）
综上所述：当矩形两个顶点在AB上时，坐标分别为（-
，0），（2，0）
当矩形一个顶点在AB上时，坐标为（
，0）．（14分）
当y=0代入y=
| 1 |
| 2 |
故B，C的坐标分别为：
B（4，0），C（0，-2）．（2分）
y=
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
（2）△ABC是直角三角形．（5分）
证明：令y=0，则
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
∴x1=-1，x2=4．
∴A（-1，0）．（6分）
解法一：∵AB=5，AC=
| 5 |
| 5 |
∴AC2+BC2=5+20=25=AB2．
∴△ABC是直角三角形．（8分）
解法二：∵AO=1，CO=2，BO=4，
∴
| CO |
| BO |
| AO |
| OC |
| 1 |
| 2 |
∵∠AOC=∠COB=90°，
∴△AOC∽△COB．（7分）
∴∠ACO=∠CBO．
∵∠CBO+∠BCO=90°，
∴∠ACO+∠BCO=90度．
即∠ACB=90度．
∴△ABC是直角三角形．（8分）
（3）能．①当矩形两个顶点在AB上时，如图1，CO交GF于H．
∵GF∥AB，
∴△CGF∽△CAB．
∴
| GF |
| AB |
| CH |
| CO |
解法一：设GF=x，则DE=x，
CH=
| 2 |
| 5 |
| 2 |
| 5 |
∴S矩形DEFG=x•（2-
| 2 |
| 5 |
| 2 |
| 5 |
| 2 |
| 5 |
| 5 |
| 2 |
| 5 |
| 2 |
当x=
| 5 |
| 2 |
∴DE=
| 5 |
| 2 |
∵△ADG∽△AOC，
∴
| AD |
| AO |
| DG |
| OC |
∴AD=
| 1 |
| 2 |
∴OD=
| 1 |
| 2 |
∴D（-
| 1 |
| 2 |
解法二：设DG=x，则DE=GF=
| 10-5x |
| 2 |
∴S矩形DEFG=x•
| 10-5x |
| 2 |
| 5 |
| 2 |
| 5 |
| 2 |
| 5 |
| 2 |
∴当x=1时，S最大．
∴DG=1，DE=
| 5 |
| 2 |
∵△ADG∽△AOC，
∴
| AD |
| AO |
| DG |
| OC |
∴AD=
| 1 |
| 2 |
∴OD=
| 1 |
| 2 |
∴D（-
| 1 |
| 2 |
②当矩形一个顶点在AB上时，F与C重合，如图2，
∵DG∥BC，
∴△AGD∽△ACB．
∴
| GD |
| BC |
| AG |
| AF |
解法一：设GD=x，
∴AC=
| 5 |
| 5 |
∴GF=AC-AG=
| 5 |
| x |
| 2 |
∴S矩形DEFG=x•（
| 5 |
| x |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 5 |
=-
| 1 |
| 2 |
| 5 |
| 5 |
| 2 |
当x=
| 5 |
| 5 |
| ||
| 2 |
∴AD=
| AG2+GD2 |
| 5 |
| 2 |
∴OD=
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
解法二：设DE=x，
∵AC=
| 5 |
| 5 |
∴GC=x，AG=
| 5 |
∴GD=2
| 5 |
∴S矩形DEFG=x•（2
| 5 |
| 5 |
| ||
| 2 |
| 5 |
| 2 |
∴当x=
| ||
| 2 |
∴GD=
| 5 |
| ||
| 2 |
∴AD=
| AG2+GD2 |
| 5 |
| 2 |
∴OD=
| 3 |
| 2 |
∴D（
| 3 |
| 2 |
综上所述：当矩形两个顶点在AB上时，坐标分别为（-
| 1 |
| 2 |
当矩形一个顶点在AB上时，坐标为（
| 3 |
| 2 |
点评：本题考查的是二次函数的综合运用以及三角形相似的判定，考生要学会灵活运用二次函数的相关知识．
练习册系列答案
相关题目
如图1，已知：抛物线
与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，经过B，C两点的直线是
，连结AC．
的顶点坐标是
]