Question

已知：在矩形ABCD中，AB=10，BC=12，四边形EFGH的三个顶点E、F、H分别在矩形ABCD边AB、BC、DA上，AE=2.

（1）如图①，当四边形EFGH为正方形时，求△GFC的面积；

（2）如图②，当四边形EFGH为菱形，且BF=a时，求△GFC的面积（用含a的代数式表示）；

（3）在（2）的条件下，△GFC的面积能否等于2？请说明理由.

Answer 1

解：（1）如图①，过点G作于M.

          在正方形EFGH中，

   .              ………………………1分

         

         又∵，

          ∴⊿AHE≌⊿BEF.                   ………………………2分

同理可证：⊿MFG≌⊿BEF.           ………………………3分

         ∴GM=BF=AE=2.

         ∴FC=BC-BF=10.                    ………………………4分

       （2）如图②，过点G作于M.连接HF.

       

                            ………………………5分

又

∴⊿AHE≌⊿MFG.                    ………………………6分

∴GM=AE=2.                         ………………………7分

 ………………………8分

（3）⊿GFC的面积不能等于2.         ………………………9分

∵若则12- a =2，∴a=10.

此时，在⊿BEF中，

 ……………10分

在⊿AHE中，

.…11分

 ∴AH＞AD.

即点H已经不在边AB上.

故不可能有      ………………………………………12分

解法二：⊿GFC的面积不能等于2.       ………………………9分

∵点H在AD上，

∴菱形边长EH的最大值为.

∴BF的最大值为.                ………………………10分

又因为函数的值随着a的增大而减小，

所以的最小值为.        ………………………11分

又∵，∴⊿GFC的面积不能等于2. ………………12分