Question

【题目】已知抛物线的不等式为y=﹣x2+6x+c．
（1）若抛物线与x轴有交点，求c的取值范围；
（2）设抛物线与x轴两个交点的横坐标分别为x1 ， x2 ． 若x12+x22=26，求c的值．
（3）若P，Q是抛物线上位于第一象限的不同两点，PA，QB都垂直于x轴，垂足分别为A，B，且△OPA与△OQB全等．求证：c＞﹣ ．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵抛物线与x轴有交点，

∴b2﹣4ac≥0，

∴36+4c≥0，

∴x≥﹣9

（2）

解：∵x1+x2=6，x1x2=﹣c，

∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=36+2c=26

∴c=﹣5

（3）

证明：∵△OPA≌△QOB，

∴OA=BQ，AP=OB，

∴可以设P（m，n），则Q（n，m）

将P（m，n），Q（n，m）代入原解析式中得： ，

①﹣②得：n2﹣m2+6m﹣6n=n﹣m

∴n2﹣m2+7m﹣7n=0，

∴（n﹣m）（n+m﹣7）=0，

∴m=n或m=7﹣n，

∵m，n不相等，

∴m=7﹣n，

将m=7﹣n代入①得：n2﹣7n+7﹣c=0，

∵b2﹣4ac＞0，

∴49﹣4（7﹣c）＞0，

c＞﹣ ．

【解析】（1）由题意△≥0，列出不等式即可解决问题．（2）利用根与系数关系，列出方程即可解决问题．（3）设P（m，n），则Q（n，m），列出方程组，求出m与n的关系，得到关于n的方程，根据判别式大于0，即可解决问题．
【考点精析】认真审题，首先需要了解根与系数的关系(一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定；两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商)．