Question

如图是某工厂货物传送带的平面示意图．为提高传送过程的安全性，工厂计划改造传送带与地面的夹角，使其由原来的43°减小为30°．已知原传送带AB长为5米．
（1）求新传送带AC的长度（结果保留小数点后一位）；
（2）新旧货物传送带着地点B、C之间相距多远（结果保留小数点后一位）？
（参考数据：cos30°≈0.866，tan 30°≈0.577，sin43°≈0.682，cos43°≈0.731，tan43°≈0.933．）

Answer 1

分析：（1）过A作BC的垂线AD．在构建的直角三角形中，首先求出两个直角三角形的公共直角边，进而在Rt△ACD中，求出AC的长．
（2）通过解直角三角形，可求出BD、CD的长，进而可求出BC的长．

解答：解：（1）过点A作AD垂直于CB的延长线于点D． 
在Rt△ADB中，AB=5，∠ABD=43°，
∵sin∠ABD=

AD

AB

，cos∠ABD=

BD

AB

，
∴AD=AB•sin∠ABD=5×sin43°≈3.41，
    BD=AB•cos∠ABD=5×cos43°≈3.66．
在Rt△ADC中，
∵sin∠ACD=

AD

AC

，
   AC=

AD

sin∠ACD

=

AD

sin30°

=6.82≈6.8．
答：新传送带AC的长约为6.8米．

（2）在Rt△ACD中，AC≈6.82，∠ACD=30°，
∵cos∠ACD=

CD

AC

，
CD=AC•cos∠ACD≈6.82×cos30°≈5.91． 
∴BC=CD-BD=5.91-3.66≈2.3．
答：新旧货物传送带着地点B、C之间相距2.3米．

点评：本题考查了坡度坡角问题，应用问题尽管题型千变万化，但关键是设法化归为解直角三角形问题，必要时应添加辅助线，构造出直角三角形．在两个直角三角形有公共直角边时，先求出公共边的长是解答此类题的基本思路．