Question

如图，在△ABC中，AC="BC," AB=6，O为AB的中点，且以O为圆心的半圆与AC，BC分别相切于点D，E；

小题1:求半圆O的半径；
小题2:求图中阴影部分的面积.

Answer 1

小题1:解：连结OD，OC，

∵半圆与AC，BC分别相切于点D，E.
∴.
∵，且O是AB的中点.∴
∴.AO=AB=3
∵,∴.
∴.
∴在中，.OD=AO=
即半圆的半径为.      
小题2:设CO=x，则在中，因为，所以AC=2x，由勾股定理得：

即   (2x)-x=3
解得   x=（x=-舍去）
S=×6×-×π×()=3-π     
∴阴影部分的面积为3-π

分析：（1）连接OC，OD，根据切线的性质得到OD⊥AC，在直角△AOD中，用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可以求出半圆的半径．
（2）先在直角△AOC中求出OC的长，计算出△ABC的面积，然后用三角形的面积减去半圆的面积得到阴影部分的面积．
解：连结OD，OC，

∵半圆与AC，BC分别相切于点D，E.
∴.
∵，且O是AB的中点.∴
∴.AO=AB=3
∵,∴.
∴.
∴在中，.OD=AO=
即半圆的半径为.      
小题2:设CO=x，则在中，因为，所以AC=2x，由勾股定理得：

即   (2x)-x=3
解得   x=（x=-舍去）
S=×6×-×π×()=3-π     
∴阴影部分的面积为3-π