Question

设a＞0，b＞0，c＞0，且满足a²=b（b+c），b²=c（c+a），求证：

1

a

+

1

b

=

1

c

Answer 1

分析：先把已知的两个等式相加，化简可得a²-c²=bc+ac③，再把已知的两个式子相乘，得到④，然后把③代入④右边的括号内，化简可得⑤，再在⑤的两边同除以a²b²c，即可得证．

解答：证明：∵a²=b（b+c）①，b²=c（c+a）②，
那么①+②得
a²-c²=bc+ac③，
①×②得
a²b²=bc（b+c）（c+a），
即a²b²=bc（bc+ab+c²+ac）④，
把③代入④得
a²b²=bc（a²-c²+ab+c²）
∴a²b²=bc（a²+ab）⑤
又∵a＞0，b＞0，c＞0，
⑤两边同除以a²b²c得

1

c

=

1

b

+

1

a

，
即

1

a

+

1

b

=

1

c

．

点评：本题考查的是分式的等式证明．注意灵活运用运算方法和整体代入的思想．