Question

已知关于x的一元二次方程x²+（2m-1）x+m²=0有两个实数根x₁和x₂．
（1）求实数m的取值范围；      
（2）当（x₁+x₂）•（x₁-x₂）=0时，求m的值．
（友情提示：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根，则：，）

Answer 1

【答案】分析：（1）x的一元二次方程x²+（2m-1）x+m²=0有两个实数根x₁和x₂，根据△≥0即可求出m的取值范围；
（2）先把（x₁+x₂）•（x₁-x₂）=0变形后，再根据根与系数的关系即可得出答案．
解答：解：∵x的一元二次方程x²+（2m-1）x+m²=0有两个实数根x₁和x₂，
∴△=（2m-1）²-4m²=1-4m≥0，
解得：m≤；

（2）∵x的一元二次方程x²+（2m-1）x+m²=0有两个实数根x₁和x₂，
∴x₁+x₂=1-2m，x₁x₂=m²，
∴（x₁+x₂）•（x₁-x₂）=0，
当1-2m=0时，1-2m=0，
解得m=（不合题意）．
当x₁=x₂时，
（x₁+x₂）²-4x₁x₂=4m²-4m+1-4m²=0，
解得：m=．
故m的值为：．
点评：本题考查根与系数的关系及根的判别式，属于基础题，关键掌握x₁，x₂是方程x²+px+q=0的两根时，x₁+x₂=-p，x₁x₂=q，反过来可得p=-（x₁+x₂），q=x₁x₂，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．