Question

如图，△ABC中，内切圆O和边BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，则以下四个结论中，错误的结论是（　　）

• A、点O是△DEF的外心
• B、∠AFE=

  1

  2

  （∠B+∠C）
• C、∠BOC=90°+

  1

  2

  ∠A
• D、∠DFE=90°一

  1

  2

  ∠B

Answer 1

分析：首先连接如图所示的辅助线．采用排除法，证明A、B、C选项，从而错误的选择D．在证明中运用弦切角定理，直角三角形的两直角边所对的角互余．

解答：解：A、∵点O是△ABC的内心
∴OE=OD=OF
∴点O也是△DEF的外心
∴该选项正确；
B、∵∠AFE=∠EDF（弦切角定理）
在Rt△BOD中，∠BOD=90°-∠OBD=90°-

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2

∠B
同理∠COD=90°-

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2

∠C
∴∠BOC=∠BOD+∠COD=180°-

1

2

(∠C+∠B)，即∠BOC=180°-

1

2

(∠C+∠B)
在四边形MOND中，

OM⊥FD ON⊥ED

?∠BOC+∠MDN=180°?∠MDN=180°-∠BOC，即∠BOC=180°-∠EDF
∴∠AFE=

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2

（∠B+∠C）
故该选项正确；
C、∵∠AFE=∠EDF（弦切角定理），
∵在Rt△AFO中，∠AFE=90°-∠FAO=90°-

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2

∠A，
由上面B选项知∠MDN=180°-∠BOC=180°-（90°-

1

2

∠A）=90°+

1

2

∠A，
故该选项正确；
故选D．

点评：本题考查三角形内切圆与内心、三角形外接圆与外心、弦切角定理．同学们需注意对于选择题目，采用排除法是一种很好的方法．