Question

已知，如图：点A（

3

，1）在反比例函数图象上，将y轴绕点O顺时针旋转30°，与反比例函数在第一象限内交于点B，
求：（1）反比例函数的解析式；
（2）求点B的坐标及△AOB的面积．

Answer 1

分析：（1）设反比例函数的解析式为y=

k

x

（k≠0），再把点A（

3

，1）代入求出k的值，进而可得出反比例函数的解析式；
（2）先求出直线OB的解析式，故可得出B点坐标，过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D．则S_△AOB=S_△OBD+S_梯形ABDC-S_△AOC．

解答：解：（1）设反比例函数的解析式为y=

k

x

（k≠0）．
∵点A（

3

，1）在反比例函数图象上，
∴1=

k

3

，
解得，k=

3

，
则该反比例函数的解析式是：y=

3

x

；

（2）如图，过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D．设B（a，b）．
∵点A（

3

，1）
∴tan∠22=

3

3

，
∴∠2=30°．
又∠1=30°，
∴点A、B关于直线y=x对称，
∴

a+ 3 2 = b+1 2 b= 3 a

，
解得，

a=1 b= 3

，则OD=1，BD=

3

．
∴S_△AOB=S_△OBD+S_梯形ABDC-S_△AOC=

1

2

OD•BD+

1

2

（AC+BD）•CD-

1

2

OC•AC=

1

2

×1×

3

+

1

2

×（1+

3

）×（

3

-1）-

1

2

×

3

×1=1．
综上所述，B点的坐标是（1，

3

），△AOB的面积的面积是1．

点评：本题考查了坐标与图形的变化--旋转，待定系数法求二次函数解析式．求点B的坐标时，也可以利用一次函数与反比例函数的交点来解答．