Question

如图，四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点．若四边形EFGH为矩形，则对角线AC与BD的位置关系是

垂直

．

Answer 1

分析：根据三角形的中位线定理，可以证明所得四边形的两组对边分别和两条对角线平行，所得四边形的两组对边分别是两条对角线的一半，再根据平行四边形的判定就可证明四边形EFGH是平行四边形，四边形HPOM是平行四边形，再根据对角线互相垂直证明矩形．

解答：解：对角线AC与BD的位置关系是垂直；
理由：
∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边上的中点，
∴EF∥AC，EF=

1

2

AC，FG∥BD，FG=

1

2

BD，GH∥AC，GH=

1

2

AC，EH∥BD，EH=

1

2

BD．
∴EF∥HG，EF=GH，FG∥EH，FG=EH．
∴四边形EFGH是平行四边形，四边形HPOM是平行四边形；
∴∠AOP=∠EHG，
∵AC⊥BD，
∴∠EHG=90°，
∴平行四边形EFGH是矩形，
故答案为：垂直．

点评：此题主要是对三角形的中位线定理的运用．关键是掌握三角形中位线定理．