Question

如图，△ABC是直角边长为a的等腰直角三角形，直角边AB是半圆O₁的直径，半圆O₂过C点且与半圆O₁相切，则图中阴影部分的面积是

 

．

Answer 1

分析：连接O₁E，O₂D，O₁O₂．则阴影部分的面积=（直角三角形ABC的面积-扇形O₂PD的面积-三角形O₂CD的面积-扇形O₁AE的面积-三角形O₁BE的面积）+（扇形O₂CD的面积-三角形O₂CD的面积+扇形O₁BE的面积-三角形O₁BE的面积）．根据等腰直角三角形的性质和同圆的半径相等，知三角形O₂CD和三角形O₁BE都是等腰直角三角形．设半圆O₂的半径是x，根据勾股定理列方程即可求解．

解答：解：连接O₁E，O₂D，O₁O₂．
设半圆O₂的半径是x，根据勾股定理，得
(

a

2

)2+(a-x)2=(

a

2

+x)2，
解得：x=

a

3

．
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B=∠C=45°．
∴∠O₂DC=∠C=45°，∠O₁EB=∠B=45°．
∴∠CO₂D=∠EO₁B=90°．
∴阴影部分的面积=直角三角形ABC的面积-2（直角三角形CO₂D的面积+直角三角形BO₁E的面积）
=

1

2

a2-2（

1

2

×

a2

9

+

1

2

×

a2

4

）=

5

36

a2．

点评：此题关键是能够根据勾股定理求得半圆O₂的半径，同时能够发现△O₂CD和△O₁BE都是直角三角形．