Question

某公司从第1年到第x年的营业收入累计为y万元，且y=6x²+1．
（1）问该公司从第1年到第4年的营业收入累计为多少万元？
（2）该公司平均年支出z（万元）与营业年数x（年）的函数关系式为z=kx+b（k，b为常数，k≠0），若营业1年支出16万元，营业3年的平均年支出为24万元．
①求k与b的值；
②设该公司营业以来获得的总利润为W万元，在营业期间，若该公司的平均年支出不多于68万元，试求W的最大值．（总利润=总收入-总支出）

Answer 1

分析：（1）即求当x=4时y的值；
（2）①根据已知条件得方程组求解；
②根据总利润的计算公式得关系式，运用函数性质求最值．注意自变量的取值范围．

解答：解：
（1）x=4时，y=6×4²+1=97，
即该公司从第1年到第4年的营业收入累计为97万元；（3分）

（2）①把

x=1 z=16

．和

x=3 z=24

．
分别代入z=kx+b，
得

k+b=16 3k+b=24

，
解得

k=4 b=12

．（5分）
②由①，z=4x+12，
∴4x+12≤68，
解得x≤14，
∴1≤x≤14（1分）
W=y-xz=6x²+1-x（4x+12）=2x²-12x+1=2（x-3）²-17
∵a=2＞0
∴函数图象为开口向上的抛物线（如图）
其对称轴为直线x=3，由函数图象知：
当1≤x≤3时，W随x的增大而减少；
当3＜x≤14时，W随x的增大而增大．
而当x=1时W=-9＜0（2分）
∴当x=14时，W有最大值，
此时W最大值=2（14-3）²-17=225（万元）．（3分）

点评：运用函数的性质解决实际问题须先求关系式（包括自变量的取值范围），再运用性质结合自变量的取值范围解决问题．