Question

如图,AD是△ABC的角平分线, 延长AD交△ABC的外接圆O于点E,过C、D、E三点的圆O₁交AC的延长线于点F，连结EF、DF．

(1)求证：△AEF∽△FED；

(2) 若AD=6，DE=3, 求EF的长；

(3) 若DF∥BE, 试判断△ABE的形状，并说明理由．

Answer 1

解（1）证明：连结两圆的相交弦CE

在圆O₁中，∠EFD=∠DCE，

在圆O中，∠BAE=∠DCE，

∴∠EFD=∠BAE，

又因为AE是∠BAC角平分线，得∠BAE=∠CAE，

∴∠CAE=∠EFD，

∵∠AEF=∠FED，

∴△AEF∽△FED．

（2）∵△AEF∽△FED，

∴ ，             

∴EF²=AE?DE=(AD+DE) ?DE=27，

∴．

（3）证明：根据同弧上的圆周角相等，

得到：∠ABC=∠AEC，∠CBE=∠CAE，

∴∠ABE=∠AEC+∠CAE，

∵∠AEC+∠CAE+∠ACE=180⁰=180°，

∴∠ABE+∠ACE=180⁰，

又∠FCE+∠ACE=180⁰，∴∠FCE=∠ABE ．

∵DF//BE, ∠FDE=∠AEB，，

又∵∠FCE=∠EDF，∴∠AEB =∠ABE ，

∴△ABE为等腰三角形．