Question

已知：如图，抛物线与轴的交点是、，与轴的交点是C.

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）设（0<<6）是抛物线上的动点，过点P作PQ∥y轴交直线BC于点Q.

①当取何值时，线段PQ的长度取得最大值？其最大值是多少?

②是否存在这样的点P，使△OAQ为直角三角 形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

解：（1）∵抛物线过A（3，0），B（6，0），

                             

            解得：                  

            ∴所求抛物线的函数表达式是

      （2）①∵当x=0时，y=2，

             ∴点C的坐标为（0，2）.

设直线BC的函数表达式是.

则有

解得：

∴直线BC的函数表达式是.  

∴

  =                   

=.                 

∴当时，线段PQ的长度取得最大值.最大值是1.

②当时，点P与点A重合，∴P（3，0）  

            当时，点P与点C重合，∴（不合题意）

            当时，

            设PQ与轴交于点D.  

            ，

            .

            又

              ∴⊿ODQ∽⊿QDA. ∴，即.

              ∴，

               ，∴.   

              ∴.

              ∴或.

              ∴所求的点P的坐标是P（3，0）或或.

          解法二：

 当时，点P与点A重合，∴P（3，0）   

           当时，点P与点C重合，∴（不合题意）

当时，设PQ与轴交于点D.

           在中，，

           在中，

           在中，，

           ∴.

            ，∴. 

           ∴.

           ∴或.

           ∴所求的点P的坐标是P（3，0）或或.