Question

如图，抛物线的顶点为H，与轴交于A、B两点（B点在A点右侧），点H、B关于直线：对称，过点B作直线BK∥AH交直线于K点．

（1）求A、B两点坐标，并证明点A在直线上；

（2）求此抛物线的解析式；

（3）将此抛物线向上平移，当抛物线经过K点时，

设顶点为N，求出NK的长．

Answer 1

 解:1）依题意，得，  ………1分

解得，

∵B点在A点右侧，

∴A点坐标为（﹣3，0），B点坐标为（1，0）．………2分

证明：∵直线：

当时，

∴点A在直线上．     ………3分

（2）解：∵点H、B关于过A点的直线：对称， 

 ∴ ………4分

过顶点H作HC⊥AB交AB于C点，

则，

∴顶点    ………5分

代入抛物线解析式，得

解得

∴抛物线解析式为  ………6分

（3）连结HK，可证得四边形HABK是平行四边形

∴HK∥AB,HK=AB

可求得K(3，2)，  ………7分

 设向上平移K个单位，抛物线经过点K

∴+K

把K(3，2)代入得：K=8        ………8分

在Rt△NHK中，∵NK=8，HK=4 由勾股定理得

NK的长是     ………9分