Question

【题目】解方程x4﹣6x2+5＝0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，通常解法是：设x2＝y，则原方程变形为关于y的方程y2﹣6y+5＝0①，解得y1＝1，y2＝5，从而x2＝1，x＝±1或x2＝5，x＝±，所以原方程有四个根x1＝，x2＝﹣，x3＝1，x4＝﹣1．

（1）填空：由原方程得到方程①的过程中，利用　 　法达到降次的目的，体现了　 　的数学思想．

（2）解方程（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）＝120．

Answer 1

【答案】（1）换元，转化;（2）x1＝1，x2＝﹣6．

【解析】

（1）设x2=y，原方程中x4=y2，-6x2=-6y，将x2全部换元成y，利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想，

（2）（x+1）（x+4）=x2+5x+4，（x+2）（x+3）=x2+5x+6，设x2+5x=y，则原方程变形为关于y的方程（y+4）（y+6）=120，解出y的值，再求x的值即可．

（1）设x2＝y，

则原方程中x4＝y2，﹣6x2＝﹣6y，

将x2全部换元成y，

利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想，

故答案为：换元，转化，

（2）（x+1）（x+4）＝x2+5x+4，（x+2）（x+3）＝x2+5x+6，

设x2+5x＝y，

则原方程变形为关于y的方程（y+4）（y+6）＝120，

解得：y＝6或﹣16，

即x2+5x＝6或x2+5x＝﹣16，

解一元二次方程x2+5x＝6得：x1＝1，x2＝﹣6，

方程x2+5x＝﹣16无实数根，

故原方程的解为：x1＝1，x2＝﹣6．